大学数学、微分方程式についての質問です。g

Writer: admin Type: arte Date: 2019-01-12 00:00
大学数学、微分方程式についての質問です。g=g(t,u)はR×RにおけるC1級関数であるとする。α>0とする。いま定数M>0があって|g(t,ξ)|≦M、g(t+1,ξ)=g(t,ξ) (t∈R)と仮定する。このとき、u=u(t)を未知関数とする方程式du/dt=-αu+g(t,u)にはu(t+1)=u(t)(t∈R)となるような解u(t)が-∞<t<∞で存在することを示せ。ヒント:a∈[-M/α,M/α]を任意に取って初期条件u(0)=aを与えた解u(t,a)を作りu(1,a)を対応させる。この問いの解き方が分かりません。教えてください。共感した0###g=g(t,u)はR×RにおけるC1級関数であるとするα>0とするいま定数M>0があって・|g(t,ξ)|≦M・g(t+1,ξ)=g(t,ξ)とするa∈[-M/α,M/α]-M/α≦a≦M/α実数0≦t≦1に対してu_0(t,a)=aとすると|u_0(t,a)|=|a|≦M/α自然数nと実数0≦t≦1に対してu{n-1}(t,a)が定義されて|u{n-1}(t,a)|≦M/αが成り立ちu{n-1}がt,aに関して連続と仮定するとu_n(t,a)=e^(-αt)[∫_{0~t}g(t,u{n-1}(t,a))e^(αt)dt+a]…(1)と定義すると|u_n(t,a)|=|e^(-αt)[∫_{0~t}g(t,u{n-1}(t,a))e^(αt)dt+a]|≦e^(-αt)[M∫_{0~t}e^(αt)dt+M/α]=Me^(-αt)[{e^(αt)-1}/α+1/α]=Me^(-αt)e^(αt)/α=M/αだからu_nもt,aに関して連続だから全ての自然数nに対して|u_n(t,a)|≦M/αgはC1級だからg(t,y)のyに関する偏微分g_y(t,y)も連続だから自然数nと実数0≦t≦1に対して0≦s≦1y=(1-s)u{n-1}(t,a)+s*u_n(t,a){g(t,u_n(t,a))-g(t,u{n-1}(t,a))}=g_y(t,y){u_n(t,a)-u{n-1}(t,a)}となるs,yがあるg_y(t,y)は連続だから閉区間-M/α≦y≦M/αで有界だからあるK>0が存在して-M/α≦y≦M/αで|g_y(t,y)|≦Kだから|g(t,u_n(t,a))-g(t,u{n-1}(t,a))|≦K|u_n(t,a)-u{n-1}(t,a)|L=2M/αとすると実数0≦t≦1に対して|u_1(t,a)-u_0(t,a)|≦|u_1(t,a)|+|u_0(t,a)|≦2M/α=Lある自然数nに対して|u_n(t,a)-u{n-1}(t,a)|≦L(Kt)^(n-1)/(n-1)!が成り立つと仮定すると|u{n+1}(t,a)-u_n(t,a)|=|e^(-αt)∫_{0~t}{g(t,u_n(t,a))-g(t,u{n-1}(t,a))}e^(αt)dt|≦|e^(-αt)∫_{0~t}K|u_n(t,a)-u{n-1}(t,a)|e^(αt)dt|≦|e^(-αt)∫_{0~t}K{L(Kt)^(n-1)/(n-1)!}e^(αt)dt|≦{L(K^n)/(n-1)!}∫_{0~t}t^(n-1)dt={L(K^n)/(n-1)!}[t^n/n]_{0~t}=L(Kt)^n/n!だから全ての自然数nに対して|u{n+1}(t,a)-u_n(t,a)|≦L(Kt)^n/n!が成り立つから0≦lim_{n→∞}|u{n+1}(t,a)-u_n(t,a)|≦lim_{n→∞}L(Kt)^n/n!=0lim_{n→∞}|u{n+1}(t,a)-u_n(t,a)|=0N=(全自然数)とする{u_n(t,a)}_{n∈N}は{t;0≦t≦1}×{a;-M/α≦a≦M/α}で一様に収束するからその極限をlim_{n→∞}u_n(t,a)=u(t,a)とすると|u_n(t,a)|≦M/αだから|u(t,a)|≦M/αだからu(t,a)はt,aに関して連続一様収束性から(1)でn→∞とするとu(t,a)=e^(-αt)[∫_{0~t}g(t,u(t,a))e^(αt)dt+a]…(2)となるv(a)={∫_{0~1}g(t,u(t,a))e^(αt)dt}/(e^α-1)h(a)=v(a)-aとすると|v(a)|≦M/αvは連続だからhも連続-M/α≦v(a)≦M/αh(-M/α)=v(-M/α)+M/α≧0h(M/α)=v(M/α)-M/α≦0だから中間値の定理から-M/α≦a≦M/αh(a)=v(a)-a=0となるaが存在するからa=v(a)={∫_{0~1}g(t,u(t,a))e^(αt)dt}/(e^α-1)↓両辺に(e^α-1)をかけるとa(e^α-1)=∫_{0~1}g(t,u(t,a))e^(αt)dt↓両辺にaを加えるとae^α=∫_{0~1}g(t,u(t,a))e^(αt)dt+a↓両辺にe^(-α)をかけるとa=e^(-α)[∫_{0~1}g(t,u(t,a))e^(αt)dt+a]↓左辺u(0,a)=a↓右辺u(1,a)=e^(-α)[∫_{0~1}g(t,u(t,a))e^(αt)dt+a]↓だからu(0,a)=u(1,a)だから任意の整数nに対してn≦t≦n+1となる実数に対してu(t,a)=u(t-n,a)と定義できてu(t+1,a)=u(t,a)となる(2)からu(t,a)=e^(-αt)[∫_{0~t}g(t,u(t,a))e^(αt)dt+a]↓両辺をtで微分するとdu/dt=-αe^(-αt)[∫_{0~t}g(t,u(t))e^(αt)dt+a]+g(t,u)↓u=e^(-αt)[∫_{0~t}g(t,u(t))e^(αt)dt+a]だからdu/dt=-αu+g(t,u)だからuは微分方程式の解であるナイス0
###なるほど!

 

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